参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编. 《自动控制原理PDF版下载》
1.误差与稳态误差
控制系统的稳态误差，是系统控制准确度(控制精度)的一种度量，通常称为稳态性能；只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性；把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统，称为无差系统；把具有原理性误差的系统，称为有差系统；
设控制系统结构图如下图所示：
当输入信号
R
(
s
)
R(s)
R(s)与主反馈信号
B
(
s
)
B(s)
B(s)不等时，比较装置的输出为：
E
(
s
)
=
R
(
s
)
−
H
(
s
)
C
(
s
)
E(s)=R(s)-H(s)C(s)
E(s)=R(s)−H(s)C(s) 此时，系统在
E
(
s
)
E(s)
E(s)信号作用下产生动作，使输出量趋于希望值；
E
(
s
)
E(s)
E(s)称为误差信号，简称误差；
误差的两种定义方式：
第一种定义：在系统输入端定义，如上式所定义；第二种定义：从系统输出端定义，定义为系统输出量的希望值与实际值之差；输入端定义的误差，在实际系统中是可以量测的，具有一定的物理意义；输出端定义的误差，在实际系统中有时无法量测，一般只有数学意义；
误差本身是时间的函数，时域表达式为：
e
(
t
)
=
L
−
1
[
E
(
s
)
]
=
L
−
1
[
Φ
e
(
s
)
R
(
s
)
]
e(t)=L^{-1}[E(s)]=L^{-1}[\Phi_e(s)R(s)]
e(t)=L−1[E(s)]=L−1[Φe(s)R(s)] 其中：
Φ
e
(
s
)
\Phi_e(s)
Φe(s)为系统误差传递函数；
Φ
e
(
s
)
=
E
(
s
)
R
(
s
)
=
1
1
+
G
(
s
)
H
(
s
)
\Phi_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G(s)H(s)}
Φe(s)=R(s)E(s)=1+G(s)H(s)1 误差信号
e
(
t
)
e(t)
e(t)中，包含瞬态分量
e
t
s
(
t
)
e_{ts}(t)
ets(t)和稳态分量
e
s
s
(
t
)
e_{ss}(t)
ess(t)两部分；控制系统的稳态误差定义为误差信号
e
(
t
)
e(t)
e(t)的稳态分量
e
s
s
(
∞
)
e_{ss}(\infty)
ess(∞)，常以
e
s
s
e_{ss}
ess简单标志；
如果有理函数
s
E
(
s
)
sE(s)
sE(s)除在原点处有唯一的极点外，在
s
s
s右半平面及虚轴上解析，即
s
E
(
s
)
sE(s)
sE(s)的极点均位于
s
s
s左半平面(包括坐标原点)，则可根据拉氏变换的终值定理，求出系统稳态误差：
e
s
s
(
∞
)
=
lim
s
→
0
s
E
(
s
)
=
lim
s
→
0
s
R
(
s
)
1
+
G
(
s
)
H
(
s
)
e_{ss}(\infty)=\lim_{s\rightarrow0}sE(s)=\lim_{s\rightarrow0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}
ess(∞)=s→0limsE(s)=s→0lim1+G(s)H(s)sR(s) 实例分析：
E
x
a
m
p
l
e
1
：
{\rm Example1：}
Example1： 设单位反馈系统开环传递函数为：
G
(
s
)
=
1
/
(
T
s
)
G(s)=1/(Ts)
G(s)=1/(Ts)，输入信号分别为：
r
(
t
)
=
t
2
/
2
、
r
(
t
)
=
sin
ω
t
r(t)=t^2/2、r(t)=\sin\omega{t}
r(t)=t2/2、r(t)=sinωt，求控制系统的稳态误差。
解：
当
r
(
t
)
=
t
2
/
2
r(t)=t^2/2
r(t)=t2/2时，
R
(
s
)
=
1
/
s
3
R(s)=1/s^3
R(s)=1/s3，可得：
E
(
s
)
=
1
s
2
(
s
+
1
/
T
)
=
T
s
2
−
T
2
s
+
T
2
s
+
1
/
T
E(s)=\frac{1}{s^2(s+1/T)}=\frac{T}{s^2}-\frac{T^2}{s}+\frac{T^2}{s+1/T}
E(s)=s2(s+1/T)1=s2T−sT2+s+1/TT2
s
E
(
s
)
sE(s)
sE(s)在
s
=
0
s=0
s=0处有一个极点，对
E
(
s
)
E(s)
E(s)进行拉氏反变换，可得：
e
(
t
)
=
T
2
e
−
t
/
T
+
T
(
t
−
T
)
e(t)=T^2{\rm e}^{-t/T}+T(t-T)
e(t)=T2e−t/T+T(t−T) 其中：
e
t
s
(
t
)
=
T
2
e
−
t
/
T
，
e
s
s
(
t
)
=
T
(
t
−
T
)
e_{ts}(t)=T^2{\rm e}^{-t/T}，e_{ss}(t)=T(t-T)
ets(t)=T2e−t/T，ess(t)=T(t−T)；
当
r
(
t
)
=
sin
ω
t
r(t)=\sin\omega{t}
r(t)=sinωt时，
R
(
s
)
=
ω
/
(
s
2
+
ω
2
)
R(s)=\omega/(s^2+\omega^2)
R(s)=ω/(s2+ω2)；
E
(
s
)
=
ω
s
(
s
+
1
/
T
)
(
s
2
+
ω
2
)
=
−
T
ω
T
2
ω
2
+
1
⋅
1
s
+
1
/
T
+
T
ω
T
2
ω
2
+
1
⋅
s
s
2
+
ω
2
+
T
2
ω
3
T
2
ω
2
+
1
⋅
1
s
2
+
ω
2
E(s)=\frac{\omega{s}}{(s+1/T)(s^2+\omega^2)}=-\frac{T\omega}{T^2\omega^2+1}·\frac{1}{s+1/T}+\frac{T\omega}{T^2\omega^2+1}·\frac{s}{s^2+\omega^2}+\frac{T^2\omega^3}{T^2\omega^2+1}·\frac{1}{s^2+\omega^2}
E(s)=(s+1/T)(s2+ω2)ωs=−T2ω2+1Tω⋅s+1/T1+T2ω2+1Tω⋅s2+ω2s+T2ω2+1T2ω3⋅s2+ω21 可得：
e
s
s
(
t
)
=
T
ω
T
2
ω
2
+
1
cos
ω
t
+
T
2
ω
2
T
2
ω
2
+
1
sin
ω
t
e_{ss}(t)=\frac{T\omega}{T^2\omega^2+1}\cos\omega{t}+\frac{T^2\omega^2}{T^2\omega^2+1}\sin\omega{t}
ess(t)=T2ω2+1Tωcosωt+T2ω2+1T2ω2sinωt
e
s
s
(
∞
)
≠
0
e_{ss}(\infty)≠0
ess(∞)=0；正弦函数的拉氏变换在虚轴上不解析，不能应用终值定理计算系统在正弦函数下的稳态稳态误差。
2.系统类型
在一般情况下，分子阶数为
m
m
m，分母阶次为
n
n
n的开环传递函数表示为：
G
(
s
)
H
(
s
)
=
K
∏
i
=
1
m
(
τ
i
s
+
1
)
s
ν
∏
j
=
1
n
−
ν
(
T
j
s
+
1
)
G(s)H(s)=\frac{K\displaystyle\prod_{i=1}^m(\tau_is+1)}{s^\nu\displaystyle\prod_{j=1}^{n-\nu}(T_js+1)}
G(s)H(s)=sνj=1∏n−ν(Tjs+1)Ki=1∏m(τis+1) 其中：
K
K
K：开环增益；
τ
i
、
T
j
\tau_i、T_j
τi、Tj：时间常数；
ν
\nu
ν：开环系统在
s
s
s平面坐标原点上的极点的重数；
ν
=
0
\nu=0
ν=0，称为0型系统；
ν
=
1
\nu=1
ν=1，称为Ⅰ型系统；
ν
=
2
\nu=2
ν=2，称为Ⅱ型系统；
上式改写：
G
(
s
)
H
(
s
)
=
K
s
ν
G
0
(
s
)
H
0
(
s
)
，其中：
G
0
H
0
(
s
)
=
∏
i
=
1
m
(
τ
i
s
+
1
)
∏
j
=
1
n
−
ν
(
T
j
s
+
1
)
G(s)H(s)=\frac{K}{s^{\nu}}G_0(s)H_0(s)，其中：G_0H_0(s)=\displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^m(\tau_is+1)}{\displaystyle\prod_{j=1}^{n-\nu}(T_js+1)}
G(s)H(s)=sνKG0(s)H0(s)，其中：G0H0(s)=j=1∏n−ν(Tjs+1)i=1∏m(τis+1) 系统稳态误差计算通式：
e
s
s
(
∞
)
=
lim
s
→
0
[
s
ν
+
1
R
(
s
)
]
K
+
lim
s
→
0
s
ν
e_{ss}(\infty)=\frac{\displaystyle\lim_{s\rightarrow0}[s^{\nu+1}R(s)]}{K+\displaystyle\lim_{s\rightarrow0}s^{\nu}}
ess(∞)=K+s→0limsνs→0lim[sν+1R(s)] 影响稳态误差的因素：系统型别、开环增益、输入信号的形式和幅值；
3.阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数
若
r
(
t
)
=
R
⋅
1
(
t
)
r(t)=R·1(t)
r(t)=R⋅1(t)，其中
R
R
R为输入阶跃函数的幅值，则
R
(
s
)
=
R
/
s
R(s)=R/s
R(s)=R/s，则各型系统在阶跃输入作用下的稳态误差为：
e
s
s
(
∞
)
=
{
R
/
(
1
+
K
)
=
常数
,
ν
=
0
0
,
ν
≥
1
e_{ss}(\infty)=\begin{cases}R/(1+K)=常数,&\nu=0\\\\0,&\nu≥1\end{cases}
ess(∞)=⎩
⎨
⎧R/(1+K)=常数,0,ν=0ν≥1 当
R
(
s
)
=
R
/
s
R(s)=R/s
R(s)=R/s时，
e
s
s
(
∞
)
=
R
1
+
lim
s
→
0
G
(
s
)
H
(
s
)
=
R
1
+
K
p
，其中：
K
p
=
lim
s
→
0
G
(
s
)
H
(
s
)
e_{ss}(\infty)=\frac{R}{1+\displaystyle\lim_{s\rightarrow0}G(s)H(s)}=\frac{R}{1+K_p}，其中：K_p=\lim_{s\rightarrow0}G(s)H(s)
ess(∞)=1+s→0limG(s)H(s)R=1+KpR，其中：Kp=s→0limG(s)H(s) 其中：
K
p
K_p
Kp称为静态位置误差系数；
各型系统静态位置误差系数为：
K
p
=
{
K
,
ν
=
0
∞
,
ν
≥
1
K_p=\begin{cases}K,&\nu=0\\\\\infty,&\nu≥1\end{cases}
Kp=⎩
⎨
⎧K,∞,ν=0ν≥1 如果要求系统对于阶跃输入作用不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统；常把系统在阶跃输入作用下的稳态误差称为静差；
0
0
0型系统称为有差系统，Ⅰ型系统称为一阶无差度系统，Ⅱ型系统称为二阶无差度系统；
4.斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数
若
r
(
t
)
=
R
t
r(t)=Rt
r(t)=Rt，其中
R
R
R为输入斜坡函数的斜率，则
R
(
s
)
=
R
/
s
2
R(s)=R/s^2
R(s)=R/s2，则各型系统在斜坡输入作用下的稳态误差为：
e
s
s
(
∞
)
=
{
∞
ν
=
0
R
/
K
=
常数
ν
=
1
0
ν
≥
2
e_{ss}(\infty)= \begin{cases} \infty & \nu=0\\ R/K=常数 & \nu=1\\ 0 & \nu≥2 \end{cases}
ess(∞)=⎩
⎨
⎧∞R/K=常数0ν=0ν=1ν≥2 当
R
(
s
)
=
R
/
s
2
R(s)=R/s^2
R(s)=R/s2时，
e
s
s
(
∞
)
=
R
lim
s
→
0
s
G
(
s
)
H
(
s
)
=
R
K
v
，其中：
K
v
=
lim
s
→
0
s
G
(
s
)
H
(
s
)
=
lim
s
→
0
K
s
ν
−
1
e_{ss}(\infty)=\frac{R}{\displaystyle\lim_{s\rightarrow0}sG(s)H(s)}=\frac{R}{K_v}，其中：K_v=\lim_{s\rightarrow0}sG(s)H(s)=\lim_{s\rightarrow0}\frac{K}{s^{\nu-1}}
ess(∞)=s→0limsG(s)H(s)R=KvR，其中：Kv=s→0limsG(s)H(s)=s→0limsν−1K 其中：
K
v
K_v
Kv称为静态速度误差系数；
0
0
0型系统的
K
v
=
0
K_v=0
Kv=0；Ⅰ型系统的
K
v
=
K
K_v=K
Kv=K；Ⅱ型及Ⅱ型以上系统的
K
v
=
∞
K_v=\infty
Kv=∞；
速度误差含义不是指系统稳态输出与输入之间存在速度上的误差，而是指系统在速度(斜坡)输入作用下，系统稳态输出与输入之间存在位置上的误差；
0
0
0型系统在稳态时不能跟踪斜坡输入；对于Ⅰ型单位反馈系统，稳态输出速度恰好与输入速度相同，但存在一个稳态位置误差，其数值与输入速度信号的斜率
R
R
R成正比，与开环增益
K
K
K成反比；对于Ⅱ型及Ⅱ型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差；
5.加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数
若
r
(
t
)
=
R
t
2
/
2
r(t)=Rt^2/2
r(t)=Rt2/2，其中
R
R
R为加速度输入函数的速度变化率，则
R
(
s
)
=
R
/
s
3
R(s)=R/s^3
R(s)=R/s3，则各型系统在加速度输入作用下的稳态误差为：
e
s
s
(
∞
)
=
{
∞
ν
=
0
,
1
R
/
K
=
常数
ν
=
2
0
ν
≥
3
e_{ss}(\infty)= \begin{cases} \infty & \nu=0,1\\ R/K=常数 & \nu = 2\\ 0 & \nu≥3 \end{cases}
ess(∞)=⎩
⎨
⎧∞R/K=常数0ν=0,1ν=2ν≥3 当
R
(
s
)
=
R
/
s
3
R(s)=R/s^3
R(s)=R/s3时，
e
s
s
(
∞
)
=
R
lim
s
→
0
s
2
G
(
s
)
R
(
s
)
=
R
K
a
，其中：
K
a
=
lim
s
→
0
s
2
G
(
s
)
H
(
s
)
=
lim
s
→
0
K
s
ν
−
2
e_{ss}(\infty)=\frac{R}{\lim_{s\rightarrow0}s^2G(s)R(s)}=\frac{R}{K_a}，其中：K_a=\lim_{s\rightarrow0}s^2G(s)H(s)=\lim_{s\rightarrow0}\frac{K}{s^{\nu-2}}
ess(∞)=lims→0s2G(s)R(s)R=KaR，其中：Ka=s→0lims2G(s)H(s)=s→0limsν−2K 其中：
K
a
K_a
Ka称为静态加速度误差系数；
0型及Ⅰ型系统的
K
a
=
0
K_a=0
Ka=0；Ⅱ型系统的
K
a
=
K
K_a=K
Ka=K；Ⅲ型及Ⅲ型以上系统的
K
a
=
∞
K_a=\infty
Ka=∞；
加速度误差指系统在加速度函数输入作用下，系统稳态输出与输入之间的位置误差；
0型及Ⅰ型单位反馈系统，在稳态时不能跟踪加速度输入；Ⅱ型单位反馈系统，稳态输出的加速度与输入加速度函数相同，但存在一定的稳态位置误差，其值与输入加速度信号的变化率
R
R
R成正比，与开环增益
K
K
K或静态加速度误差系数
K
a
K_a
Ka成反比；Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统，只要系统稳定，其稳态输出能准确跟踪加速度输入信号，不存在位置误差；
如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合，如：
r
(
t
)
=
R
0
⋅
1
(
t
)
+
R
1
t
+
1
2
R
2
t
2
r(t)=R_0·1(t)+R_1t+\frac{1}{2}R_2t^2
r(t)=R0⋅1(t)+R1t+21R2t2 根据线性叠加原理，稳态误差为：
e
s
s
(
∞
)
=
R
0
1
+
K
p
+
R
1
K
v
+
R
2
K
a
e_{ss}(\infty)=\frac{R_0}{1+K_p}+\frac{R_1}{K_v}+\frac{R_2}{K_a}
ess(∞)=1+KpR0+KvR1+KaR2 输入信号作用下的稳态误差总结：
实例分析：
E
x
a
m
p
l
e
2
：
{\rm Example2：}
Example2： 设具有测速发电机内反馈的位置随动系统如下图所示，计算
r
(
t
)
r(t)
r(t)分别为
1
(
t
)
、
t
、
t
2
/
2
1(t)、t、t^2/2
1(t)、t、t2/2时，系统的稳态误差，并对系统在不同输入形式下具有不同稳态误差的现象进行物理说明。
解：
由图可得，系统开环传递函数为：
G
(
s
)
=
1
s
(
s
+
1
)
G(s)=\frac{1}{s(s+1)}
G(s)=s(s+1)1 该系统是
K
=
1
K=1
K=1的Ⅰ型系统，静态误差系数分别为：
K
p
=
∞
，
K
v
=
1
，
K
a
=
0
K_p=\infty，K_v=1，K_a=0
Kp=∞，Kv=1，Ka=0；
当输入
r
(
t
)
r(t)
r(t)分别为
1
(
t
)
、
t
、
t
2
/
2
1(t)、t、t^2/2
1(t)、t、t2/2时，对应的稳态误差分别为：
0
，
1
，
∞
0，1，\infty
0，1，∞；
物理解释：
系统受到单位阶跃函数作用后，稳态输出是一个恒定的位置，这时伺服电动机必须停止转动，要使电动机不转，加在电动机控制绕组上的电压必须为零，即系统输入端的误差信号稳态值应等于零，因此，系统在单位阶跃输入函数下，不存在位置误差；系统受到单位斜坡函数作用后，系统的稳态输出速度，必定于输入信号速度相同，即要求电动机作恒速运转，因此在电动机控制绕组上需要作用以一个恒定的电压，由此推得误差信号的终值应该等于一个常值，所以系统存在一个常值速度误差；系统受到加速度信号作用后，系统稳态输出作等加速变化，要求电动机控制绕组有等速变化的电压输入，最后归结为要求误差信号随时间线性增长，显然，
t
→
∞
t\rightarrow\infty
t→∞时，系统的加速度误差必为无穷大；
在系统误差分析中，只有当输入信号是阶跃函数、斜坡函数、加速度函数，或者是这三种信号的线性组合时，静态误差系数才有意义；
6.动态误差系数
误差信号拉氏变换：
E
(
s
)
=
Φ
e
(
s
)
R
(
s
)
E(s)=\Phi_e(s)R(s)
E(s)=Φe(s)R(s) 误差传递函数
Φ
e
(
s
)
\Phi_e(s)
Φe(s)在
s
=
0
s=0
s=0的邻域内展成泰勒级数：
Φ
e
(
s
)
=
1
1
+
G
(
s
)
H
(
s
)
=
Φ
e
(
0
)
+
Φ
˙
e
(
0
)
s
+
1
2
!
Φ
¨
(
0
)
s
2
+
⋯
+
\Phi_e(s)=\frac{1}{1+G(s)H(s)}=\Phi_e(0)+\dot{\Phi}_e(0)s+\frac{1}{2!}\ddot{\Phi}(0)s^2+\dots+
Φe(s)=1+G(s)H(s)1=Φe(0)+Φ˙e(0)s+2!1Φ¨(0)s2+⋯+ 误差信号表示为级数：
E
(
s
)
=
Φ
e
(
s
)
R
(
s
)
=
Φ
e
(
0
)
R
(
s
)
+
Φ
˙
e
(
0
)
s
R
(
s
)
+
1
2
!
Φ
¨
(
0
)
s
2
R
(
s
)
+
⋯
+
1
l
!
Φ
e
(
l
)
(
0
)
s
l
R
(
s
)
+
⋯
+
E(s)=\Phi_e(s)R(s)=\Phi_e(0)R(s)+\dot{\Phi}_e(0)sR(s)+\frac{1}{2!}\ddot{\Phi}(0)s^2R(s)+\dots+\frac{1}{l!}\Phi_e^{(l)}(0)s^lR(s)+\dots+
E(s)=Φe(s)R(s)=Φe(0)R(s)+Φ˙e(0)sR(s)+2!1Φ¨(0)s2R(s)+⋯+l!1Φe(l)(0)slR(s)+⋯+ 对上式进行拉氏反变换：
e
s
s
(
t
)
=
∑
i
=
0
∞
C
i
r
(
i
)
(
t
)
，其中：
C
i
=
1
i
!
Φ
e
(
i
)
(
0
)
，
i
=
0
,
1
,
2
,
…
e_{ss}(t)=\sum_{i=0}^{\infty}C_ir^{(i)}(t)，其中：C_i=\frac{1}{i!}\Phi_e^{(i)}(0)，i=0,1,2,\dots
ess(t)=i=0∑∞Cir(i)(t)，其中：Ci=i!1Φe(i)(0)，i=0,1,2,…
C
i
C_i
Ci：动态误差系数；
C
0
C_0
C0：动态位置误差系数；
C
1
C_1
C1：动态速度误差系数；
C
2
C_2
C2：动态加速度误差系数；"动态"含义：指这种方法可以完整描述系统稳态误差
e
s
s
(
t
)
e_{ss}(t)
ess(t)随时间变化的规律，而不是指误差信号中的瞬态分量
e
t
s
(
t
)
e_{ts}(t)
ets(t)随时间变化的情况
求解动态误差系数：
将已知的系统开环传递函数按
s
s
s的升幂排列，如下：
G
(
s
)
H
(
s
)
=
K
s
ν
⋅
1
+
b
1
s
+
b
2
s
2
+
⋯
+
b
m
s
m
1
+
a
1
s
+
a
2
s
2
+
⋯
+
a
n
s
n
−
ν
G(s)H(s)=\frac{K}{s^{\nu}}·\frac{1+b_1s+b_2s^2+\dots+b_ms^m}{1+a_1s+a_2s^2+\dots+a_ns^{n-\nu}}
G(s)H(s)=sνK⋅1+a1s+a2s2+⋯+ansn−ν1+b1s+b2s2+⋯+bmsm 令
M
(
s
)
=
K
(
1
+
b
1
s
+
b
2
s
2
+
⋯
+
b
m
s
m
)
N
0
(
s
)
=
s
ν
(
1
+
a
1
s
+
a
2
s
2
+
⋯
+
a
n
s
n
−
ν
)
\begin{align} &M(s)=K(1+b_1s+b_2s^2+\dots+b_ms^m)\\ &N_0(s)=s^{\nu}(1+a_1s+a_2s^2+\dots+a_ns^{n-\nu}) \end{align}
M(s)=K(1+b1s+b2s2+⋯+bmsm)N0(s)=sν(1+a1s+a2s2+⋯+ansn−ν) 误差传递函数表示为：
Φ
e
(
s
)
=
1
1
+
G
(
s
)
H
(
s
)
=
N
0
(
s
)
N
0
(
s
)
+
M
(
s
)
\Phi_e(s)=\frac{1}{1+G(s)H(s)}=\frac{N_0(s)}{N_0(s)+M(s)}
Φe(s)=1+G(s)H(s)1=N0(s)+M(s)N0(s) 用上式的分母多项式去除其分子多项式，得到一个
s
s
s的升幂级数：
Φ
e
(
s
)
=
C
0
+
C
1
s
+
C
2
s
2
+
⋯
+
\Phi_e(s)=C_0+C_1s+C_2s^2+\dots+
Φe(s)=C0+C1s+C2s2+⋯+ 将上式代入误差信号表达式：
E
(
s
)
=
Φ
e
(
s
)
R
(
s
)
=
(
C
0
+
C
1
s
+
C
2
s
2
+
⋯
+
)
R
(
s
)
E(s)=\Phi_e(s)R(s)=(C_0+C_1s+C_2s^2+\dots+)R(s)
E(s)=Φe(s)R(s)=(C0+C1s+C2s2+⋯+)R(s) 实例分析：
E
x
a
m
p
l
e
3
：
{\rm Example3：}
Example3： 设单位反馈控制系统的开环传递函数为：
G
(
s
)
=
100
s
(
0.1
s
+
1
)
G(s)=\frac{100}{s(0.1s+1)}
G(s)=s(0.1s+1)100 若输入信号为
r
(
t
)
=
sin
5
t
r(t)=\sin5t
r(t)=sin5t，求系统的稳态误差
e
s
s
(
t
)
e_{ss}(t)
ess(t)。
解
1
1
1：(动态误差系数法求解)
系统误差传递函数：
Φ
e
(
s
)
=
1
1
+
G
(
s
)
=
s
(
0.1
s
+
1
)
0.1
s
2
+
s
+
100
=
0
+
1
0
−
2
s
+
9
×
1
0
−
4
s
2
−
1.9
×
1
0
−
5
s
3
+
⋯
+
\Phi_e(s)=\frac{1}{1+G(s)}=\frac{s(0.1s+1)}{0.1s^2+s+100}=0+10^{-2}s+9\times{10^{-4}}s^2-1.9\times{10^{-5}}s^3+\dots+
Φe(s)=1+G(s)1=0.1s2+s+100s(0.1s+1)=0+10−2s+9×10−4s2−1.9×10−5s3+⋯+ 因此，动态误差系数为：
C
0
=
0
，
C
1
=
1
0
−
2
，
C
2
=
9
×
1
0
−
4
，
C
3
=
−
1.9
×
1
0
−
5
，
…
C_0=0，C_1=10^{-2}，C_2=9\times{10^{-4}}，C_3=-1.9\times{10^{-5}}，\dots
C0=0，C1=10−2，C2=9×10−4，C3=−1.9×10−5，… 稳态误差为：
e
s
s
(
t
)
=
(
C
0
−
C
2
ω
0
2
+
C
4
ω
0
4
−
…
)
sin
ω
0
t
+
(
C
1
ω
0
−
C
3
ω
0
3
+
C
5
ω
0
5
−
…
)
cos
ω
0
t
e_{ss}(t)=(C_0-C_2\omega_0^2+C_4\omega_0^4-\dots)\sin\omega_0t+(C_1\omega_0-C_3\omega_0^3+C_5\omega_0^5-\dots)\cos\omega_0t
ess(t)=(C0−C2ω02+C4ω04−…)sinω0t+(C1ω0−C3ω03+C5ω05−…)cosω0t 输入
r
(
t
)
=
sin
5
t
r(t)=\sin5t
r(t)=sin5t，即
ω
0
=
5
\omega_0=5
ω0=5，对级数求和：
e
s
s
(
t
)
=
−
0.055
cos
(
5
t
−
24.9
°
)
e_{ss}(t)=-0.055\cos(5t-24.9°)
ess(t)=−0.055cos(5t−24.9°) 因此，系统稳态误差为余弦函数，最大幅值为
0.055
0.055
0.055。
解2：(反变换法求解)
误差信号为：
E
(
s
)
=
Φ
e
(
s
)
R
(
s
)
=
s
2
+
10
s
s
2
+
10
s
+
1000
⋅
5
s
2
+
25
=
a
s
+
b
s
2
+
10
s
+
1000
+
c
s
+
d
s
2
+
25
E(s)=\Phi_e(s)R(s)=\frac{s^2+10s}{s^2+10s+1000}·\frac{5}{s^2+25}=\frac{as+b}{s^2+10s+1000}+\frac{cs+d}{s^2+25}
E(s)=Φe(s)R(s)=s2+10s+1000s2+10s⋅s2+255=s2+10s+1000as+b+s2+25cs+d 解得：
c
=
−
0.0498
，
d
=
−
0.115
c=-0.0498，d=-0.115
c=−0.0498，d=−0.115 闭环系统稳定，稳态下：
E
s
s
(
s
)
=
c
s
+
d
s
2
+
25
=
−
0.0498
s
+
0.115
s
2
+
25
E_{ss}(s)=\frac{cs+d}{s^2+25}=-\frac{0.0498s+0.115}{s^2+25}
Ess(s)=s2+25cs+d=−s2+250.0498s+0.115 进行拉氏反变换，即可求得系统稳态误差。
7.扰动作用下的稳态误差
设控制系统如下图所示，
N
(
s
)
N(s)
N(s)为扰动信号的拉氏变换，在扰动信号作用下系统的理想输出应为零，该非单位反馈系统响应扰动
n
(
t
)
n(t)
n(t)的输出端误差信号为：
E
n
(
s
)
=
−
C
n
(
s
)
=
−
G
2
(
s
)
1
+
G
(
s
)
N
(
s
)
E_n(s)=-C_n(s)=-\frac{G_2(s)}{1+G(s)}N(s)
En(s)=−Cn(s)=−1+G(s)G2(s)N(s) 其中：
G
(
s
)
=
G
1
(
s
)
G
2
(
s
)
H
(
s
)
G(s)=G_1(s)G_2(s)H(s)
G(s)=G1(s)G2(s)H(s)为非单位反馈系统的开环传递函数；
G
2
(
s
)
G_2(s)
G2(s)为以
n
(
t
)
n(t)
n(t)为输入，
c
n
(
t
)
c_{n}(t)
cn(t)为输出时，非单位反馈系统前向通路的传递函数；
记
Φ
e
n
(
s
)
=
−
G
2
(
s
)
1
+
G
(
s
)
\Phi_{en}(s)=-\frac{G_2(s)}{1+G(s)}
Φen(s)=−1+G(s)G2(s) 为系统对扰动作用的误差传递函数，在其
s
=
0
s=0
s=0邻域内展成泰勒级数：
Φ
e
n
(
s
)
=
Φ
e
n
(
0
)
+
Φ
˙
e
n
(
0
)
s
+
1
2
!
Φ
¨
e
n
(
0
)
s
2
+
⋯
+
1
l
!
Φ
e
n
(
l
)
(
0
)
s
l
+
…
\Phi_{en}(s)=\Phi_{en}(0)+\dot{\Phi}_{en}(0)s+\frac{1}{2!}\ddot{\Phi}_{en}(0)s^2+\dots+\frac{1}{l!}\Phi_{en}^{(l)}(0)s^l+\dots
Φen(s)=Φen(0)+Φ˙en(0)s+2!1Φ¨en(0)s2+⋯+l!1Φen(l)(0)sl+… 设系统扰动信号为：
n
(
t
)
=
n
0
+
n
1
t
+
1
2
n
2
t
2
+
⋯
+
1
k
!
n
k
t
k
n(t)=n_0+n_1t+\frac{1}{2}n_2t^2+\dots+\frac{1}{k!}n_kt^k
n(t)=n0+n1t+21n2t2+⋯+k!1nktk 可得，稳定系统对扰动作用的稳态误差表达式：
e
s
s
n
(
t
)
=
∑
i
=
0
k
C
i
n
n
(
i
)
(
t
)
，其中：
C
i
n
=
1
i
!
Φ
e
n
(
i
)
(
0
)
；
i
=
0
,
1
,
2
,
…
e_{ssn}(t)=\sum_{i=0}^kC_{in}n^{(i)}(t)，其中：C_{in}=\frac{1}{i!}\Phi_{en}^{(i)}(0)；i=0,1,2,\dots
essn(t)=i=0∑kCinn(i)(t)，其中：Cin=i!1Φen(i)(0)；i=0,1,2,… 其中：
C
i
n
C_{in}
Cin称为系统对扰动的动态误差系数；
8.减小或消除稳态误差的措施
增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益；在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节；
扰动作用点前的前向通道积分环节数与主反馈通道积分环节数之和决定系统响应扰动作用的型别，该型别与扰动作用点后前向通道的积分环节数无关；在反馈控制系统中，设置串联积分环节或增大开环增益以消除或减小稳态误差的措施，必然导致降低系统的稳定性，甚至造成系统不稳定，从而恶化系统的动态性能； 采用串级控制抑制内回路扰动；采用复合控制方法。